几何入门篇 · 平面直角坐标系：点的坐标 + 象限 + 坐标与图形
适用年级 ：7 年级（初一）下学期 · 人教版。它是函数（第 3 章）的直接地基 ——一次函数、反比例函数、二次函数的图象，全都画在坐标系里。学函数觉得"图看不懂"的同学，八成是这一章没打牢，回来补它。
这一章教你把"位置"变成"两个数"。有了坐标系，几何图形就能用代数（数）来算，这是初中数学最重要的一次"数形结合"。我们放慢速度 ，从"为什么要用两个数定位"讲起，配图看懂，再记结论。
12.1 为什么要两个数：先从"一根数轴不够用"说起
一根数轴，能定"线上"一个点的位置（一个数就够）。但要定一张纸（平面）上 一个点，一个数不够——你还得说清它"左右在哪、上下在哪"。所以要用两条数轴 。
把两条互相垂直、原点重合 的数轴放在一起，就组成了平面直角坐标系 ：
- 水平的那条叫 x 轴（横轴） ，向右为正方向；
- 竖直的那条叫 y 轴（纵轴） ，向上为正方向；
- 两轴的交点 O 叫原点 。
平面直角坐标系：x 轴（横，向右正）、y 轴（竖，向上正）、原点 O
x
y
O
→ 向右为正
↑ 向上为正
一句话记 ："横 x 竖 y，向右向上为正，交点是原点 O。"
12.2 点的坐标：先横后竖，(x, y) 别写反
平面上任意一点 P，从它分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足在两条轴上各对应一个数：
- 落在 x 轴 上的那个数，叫 P 的横坐标 ；
- 落在 y 轴 上的那个数，叫 P 的纵坐标 。
把它们按 （横坐标， 纵坐标） 的顺序写成一对，就是点 P 的坐标 ，记作 P(x, y)。
点 P(3, 2)：向 x 轴作垂线得横坐标 3，向 y 轴作垂线得纵坐标 2
x
y
O
3
2
P(3, 2)
★ 最容易错的地方：顺序！ 坐标一定是 (x, y)——先横后竖 。(3, 2) 和 (2, 3) 是两个完全不同的点。
口诀 ："先横后竖，横在前，竖在后。"
反过来"描点" ：给你 (3, 2)，就从原点先沿 x 轴走到 3，再向上走 2，落点就是它。"先走横，再走竖。"
七年级 当场练一题 ｜写出点 A（在 y 轴右边 4、x 轴上方 1）和点 B（在 y 轴左边 2、x 轴下方 3）的坐标。
A：右 4 → 横坐标 +4；上 1 → 纵坐标 +1 → A(4, 1)
B：左 2 → 横坐标 −2；下 3 → 纵坐标 −3 → B(−2, −3)
突破口：右上为正、左下为负；先定横坐标的正负，再定纵坐标的正负。
12.3 四个象限：坐标的正负决定点在哪个"区"
两条坐标轴把平面分成了四块 ，每一块叫一个象限 。从右上角 那块开始，逆时针 依次是第一、二、三、四象限。
四个象限（从右上逆时针数）及各自的符号规律
x
y
O
第一象限
(+, +)
第二象限
(−, +)
第三象限
(−, −)
第四象限
(+, −)
★ 象限符号表（背这张，判断题秒杀）
象限
位置
横坐标 x
纵坐标 y
符号
第一象限
右上
+
+
(+, +)
第二象限
左上
−
+
(−, +)
第三象限
左下
−
−
(−, −)
第四象限
右下
+
−
(+, −)
怎么记 ：从右上角开始逆时针转一圈 （一→二→三→四），x 的符号是"正负负正"，y 的符号是"正正负负"。
另一个记法 ：x 管左右 （右正左负），y 管上下 （上正下负）；两个符号一凑，就知道在哪个象限。
★ 特别注意：坐标轴上的点，不属于任何象限！
- x 轴上的点：纵坐标为 0，形如 (a, 0)；
- y 轴上的点：横坐标为 0，形如 (0, b)；
- 原点是 (0, 0)，横纵坐标都是 0。
一句话："轴上的点不算象限，看谁是 0 就在谁那条轴上。"
七年级 当场练一题 ｜点 P(−5, 3)、Q(0, −4)、R(2, −6) 分别在哪里？
P(−5, 3)：横负纵正 → (−, +) → 第二象限
Q(0, −4)：横坐标是 0 → 不在象限，在 y 轴上（负半轴）
R(2, −6)：横正纵负 → (+, −) → 第四象限
突破口：先看有没有 0——有 0 就在轴上；没 0 再用符号定象限。
12.4 特殊位置的点：坐标藏着"规律"
有几类点的坐标有固定特征，中考常考"填空/判断"，直接记结论：
坐标轴上、两条角平分线上的点，坐标各有规律
x
y
y = x
(横=纵)
y = −x
（横纵互为相反数）
★ 特殊点坐标规律
- x 轴上 的点：纵坐标 = 0 → (a, 0)；
- y 轴上 的点：横坐标 = 0 → (0, b)；
- 第一、三象限角平分线 （直线 y = x）上的点：横坐标 = 纵坐标 → (a, a)；
- 第二、四象限角平分线 （直线 y = −x）上的点：横纵坐标互为相反数 → (a, −a)。
一句话记 ："在 x 轴 y 为 0，在 y 轴 x 为 0；y=x 横纵相等，y=−x 横纵相反。"
12.5 关于对称：坐标怎么变（重点，函数里天天用）
一个点关于 x 轴、y 轴、原点作对称，坐标怎么变？这是 8—9 年级研究函数图象对称性的基础，务必记牢。
点 P(a, b) 关于 x 轴、y 轴、原点对称后的坐标
x
y
O
P(a, b)
(a, −b)
(−a, b)
(−a, −b)
★ 对称变坐标（口诀记） ，设原来的点为 P(a, b)：
- 关于 x 轴 对称 → (a, −b)：横不变，纵变号 （"关于 x 轴，x 不动，y 取反"）；
- 关于 y 轴 对称 → (−a, b)：纵不变，横变号 （"关于 y 轴，y 不动，x 取反"）；
- 关于 原点 对称 → (−a, −b)：横纵都变号 （"关于原点，全取反"）。
超好记的规律 ："关于谁对称，谁那个字母不变；关于原点，两个都变。" （关于 x 轴 → x 不变；关于 y 轴 → y 不变；关于原点 → 都变）
七年级 当场练一题 ｜点 A(−2, 5)，分别写出它关于 x 轴、y 轴、原点的对称点。
关于 x 轴：横不变纵变号 →(−2, −5)
关于 y 轴：纵不变横变号 →(2, 5)
关于原点：两个都变号 →(2, −5)
突破口：记"关于谁，谁不变；原点两个全变"，一秒写出。
12.6 坐标与距离：两个常用的"长度"
坐标不仅定位置，还能算长度 。7 年级先掌握两类最基础的：
① 点到坐标轴的距离 （看绝对值）
点 P(a, b)：
- 到 x 轴 的距离 = |b| （纵坐标的绝对值，因为 x 轴是"上下"的基准）；
- 到 y 轴 的距离 = |a| （横坐标的绝对值）。
注意是绝对值 ：距离永远非负，哪怕坐标是负数。例：P(−3, 4) 到 x 轴距离 = |4| = 4，到 y 轴距离 = |−3| = 3。
② 平行于坐标轴的两点间距离 （相减取绝对值）
- 若两点横坐标相同 （连线竖直，平行 y 轴），距离 = 两个纵坐标之差的绝对值 ；
- 若两点纵坐标相同 （连线水平，平行 x 轴），距离 = 两个横坐标之差的绝对值 。
例：A(2, 1) 与 B(2, 6) 横坐标都是 2 → 竖直 → 距离 = |6 − 1| = 5。
七年级 当场练一题 ｜A(1, 3)、B(5, 3)，求线段 AB 的长；并求 A 到 x 轴的距离。
A、B 纵坐标都是 3 → AB 水平 → AB = |5 − 1| = 4
A(1, 3) 到 x 轴距离 = |纵坐标| = |3| = 3
突破口：横坐标相同就减纵坐标，纵坐标相同就减横坐标；到轴的距离看对应坐标的绝对值。
★ 本章记忆总表（考前扫这一张）
【坐标系】横 x（右正）、竖 y（上正），交点原点 O
【读/写坐标】(x, y) 先横后竖，顺序不能反
【四象限】从右上逆时针数 一→二→三→四
一(+,+) 二(−,+) 三(−,−) 四(+,−)
x 管左右（右正左负），y 管上下（上正下负）
轴上的点不属于任何象限：x 轴(a,0)、y 轴(0,b)、原点(0,0)
【特殊点】y=x 上横=纵(a,a)；y=−x 上横纵相反(a,−a)
【对称变坐标】关于谁，谁不变；原点全变
关于 x 轴 →(a, −b) 关于 y 轴 →(−a, b) 关于原点 →(−a, −b)
【距离】
P(a,b) 到 x 轴 = |b|，到 y 轴 = |a|
横坐标相同 → 竖直，距离 = |纵差|
纵坐标相同 → 水平，距离 = |横差|